3-1. 向量空間

Define Vector Space

$V \ne \emptyset$, $F$: $field$, 定義二運算

• 向量加法(vector addition): +

• 純量積(vector multiplication): $\cdot$

$V$: 向量的集合; $F$: 純量的集合，非 $R$ 即 $C$

滿足以下十個公設:

• (1) $\forall \vec{u}$, $\vec{v} \in V$, $\vec{u}$ + $\vec{v} \in V$

• (2) $\forall c \in F$, $\forall \vec{v} \in V$, $c\vec{v} \in V$

  (1) 向量加法的封閉性 (2) 純量積的封閉性

• (3) $\forall \vec{u}$, $\vec{v} \in V$, $\vec{u}$ + $\vec{v}$ = $\vec{v}$ + $\vec{u}$

• (4) $\forall \vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w} \in V$, ($\vec{u}$ + $\vec{v}$) + $\vec{w}$ = $\vec{v}$ + ($\vec{u}$ + $\vec{w}$)

• (5) $\exists \vec{0} \in V$ s.t. $\forall \vec{v} \in V$, $\vec{v}$ + $\vec{0}$ = $\vec{v}$

• (6) $\forall \vec{v} \in V$, $\exists$ (-$\vec{v}$) $\in V$ s.t. $\vec{v}$ + (-$\vec{v}$) = $\vec{0}$

  向量加法的: (3) 交換性 (4) 結合性 (5) 單位元素 (6) 反元素

• (7) $\forall c \in F$, $\forall \vec{u}$, $\vec{v} \in V$, $c$($\vec{u} + \vec{v}$) = $c\vec{u}$ + $c\vec{v}$

• (8) $\forall c$, $d \in F$, $\forall \vec{v} \in V$, ($c$ + $d$)$\vec{v}$ = $c\vec{v}$ + $d\vec{v}$

• (9) $\forall c$, $d \in F$, $\forall \vec{v} \in V$, $c$($d\vec{v}$) = ($cd$)$\vec{v}$

• (10) $\forall \vec{v} \in V$, $1 \cdot \vec{v}$ = $\vec{v}$

  純量積的: (7) 向量加法分配性 (8) 純量加法分配性("+": 第一個為純量加, 第二個為向量加) (9) 乘法結合性 ，與 (10) 單位純量積的不變性

則稱 $V$ 為佈於 $F$ 的向量空間(vector space over $F$)，有時會將 $V$ 記作 ($V$, +, $\cdot$ ) 以強調其運算符號

常見的向量空間

歐氏空間 (Euclidean space)

• Define: $V$ = $F^n$ = { ($x_1$, $x_2$, ..., $x_n$) | $x_1$, $x_2$, ..., $x_n \in F$ }

  ($x_1$, $x_2$, ..., $x_n$): n-tuple

• $V$ 上定義 + 及 $\cdot$ : $x$ = ($x_1$, $x_2$, ..., $x_n$), $y$ = ($y_1$, $y_2$, ..., $y_n$), $\alpha \in F$

  • $x$ + $y$ = ($x_1$ + $y_1$, $x_2$ + $y_2$, ..., $x_n$ + $y_n$)

  • $\alpha \cdot x$ = ($\alpha x_1$, $\alpha x_2$, ..., $\alpha x_n$)

• 當 $F$ = $R$ 或 $C$ 時, 稱 $V$ = $R^n$ 或 $C^n$ 為實或複歐式空間

矩陣空間 (matrix space)

• Define: $V$ = $F^{m \times n}$ = { $A$ | $A$ 為 $m \times n$ matrix }

• $V$ 上定義 + 及 $\cdot$ : 矩陣的加法與純量積

• $F^n$ 有兩種觀點:

  • 行向量: $F^{n \times 1}$

  • 列向量: $F^{1 \times n}$

• 當 $F$ = $R$ 或 $C$ 時, 稱 $V$ = $R^{m \times n}$ 或 $C^{m \times n}$ 為實或複矩陣空間

多項式空間 (polynomial space)

• Define: $V$ = $P$ = { $P$ | $P$ 為佈於 $F$ 之 polynomial }, 有時記作 $P$($F$) 或 $F$[$x$]

  $P$ : 函數即向量，但不要試著根據其定義畫出空間的座標圖！

• $V$ 上定義 + 及 $\cdot$ : 多項式的加法與純量積, $\forall f$, $g \in V$, $\alpha \in F$

  • ($f$ + $g$)($x$) = $f$($x$) + $g$($x$)

  • ($\alpha f$)($x$) = $\alpha f$($x$)

  $^{ex.} p$($x$) = $2$ + $3x$ + $4x^2$; $q$($x$) = $5$ - $6x$ + $3x^2$ + $4x^3$ $\Rightarrow p$($x$) + $q$($x$) = $7$ - $3x$ + $7x^2$ + $4x^3$ $\Rightarrow 5$($p$($x$)) = $10$ + $15x$ + $20x^2$

n 次多項式空間 (n-th polynomial space)

• Define: $V$ = $P_n$ = { $f \in P$ | $\deg$($f$) $\le n$ }, 有時記作 $P_n$($F$) 或 $F_n$[$x$]

  不能是 "$\deg$($f$) = $n$": $^{ex.} p$($x$) = $3$ + $x^2$; $q$($x$) = $5x$ - $x^2$ $\Rightarrow p$($x$) + $q$($x$) = $3$ + $5x$, $\deg$ = $1 \ne 2$

• $V$ 上定義 + 及 $\cdot$ : 多項式的加法與純量積

• n 次多項式空間為多項式空間之子空間

函數空間 (function space)

• Define: $V$ = $\mathcal{F}$($D$, $F$) = { $f$ | $f$: $D \rightarrow F$ function }

  亦不要試著根據其定義畫出空間的座標圖！

• $V$ 上定義 + 及 $\cdot$ : 函數的加法與純量積

  $^{ex.} p$($x$) = $2x$ + $\sin$($x$); $q$($x$) = $5x$ + $\sqrt{x}$ $\Rightarrow p$($x$) + $q$($x$) = $7x$ + $\sin$($x$) + $\sqrt{x}$

連續函數空間 (space of continuous function)

• Define: $V$ = $\mathcal{C}$[$a$, $b$] = { $f$ | $f$: [$a$, $b$] $\rightarrow F$ continuous function }

  [$a$, $b$]: $a$ 至 $b$ 之區間

• $V$ 上定義 + 及 $\cdot$ : 函數的加法與純量積